Fungsi BilinearJika n bilangan bulat tak negatif dan a_0,a_1,…,a_n adalah konstanta komplek maka fungsi P(z)=a_0+a_1 z+a_2 z^2+⋯+a_n z^n
dinamakan fungsi menyeluruh. Misalkan P(z) dan Q(z) adalah dua fungsi menyeluruh. Maka berdasarkan teorema 2.9 fungsi F(z)=P(z)/Q(z) dengan Q(z)≠0, merupakan fungsi rasional analitik yang penyebutnya tidak sama dengan nol.
Fungsi yang berbentuk f(z)=(az+b)/(cz+d),(ad-bc≠0)
dinamakan fungsi bilinear. Karena merupakan fungsi rasional yang analitik dimana-mana kecuali di z=-d/c. Jika c=0, maka pemetaan bilinear menjadi fungsi linear. Persamaan f(z)=(az+b)/(cz+d),(ad-bc≠0) menyatakan fungsi 1-1 yang memetakan bidang z perluasan ke bidang w perluasan.
Untuk titik z=-d/c
f(-d/c)=(a(-d/c)+b)/(c(-d/c)+d)=(-ad/c+b)/0 tidak terdefinisi
sehingga dipetakan ke titik w=∞ dan untuk z=∞. Untuk mencari solusinya, digunakan tingkah fungsi f(z) pada z=∞ yang akan disamakan dengan tingkah laku f(1/z) pada titik z=0 yang terdapat pada fungsi balikan, sebagai berikut
f(z)=(az+b)/(cz+d)
f(1/z)=(a(1/z)+b)/(c(1/z)+d)=((a+bz)/z)/((c+dz)/z)=(a+bz)/(c+dz)
karena z=0,maka f(1/z)=a/c
Jadi, pada z=∞, f(z)=a/c.
Pemetaan bilinear merupakan gabungan dari fungsi-fungsi
g(z)=cz+d,h(z)=1/z sehingga diperoleh f(z)=a/c+(bc-ad)/c (fog)(z) yang dapat dijabarkan sebagai berikut
f(z)=a/c+(bc-ad)/c f(cz+d)
= a/c+(bc-ad)/c 1/(cz+d)
= (a(cz+d)+bc-ad)/c(cz+d)
= (acz+ad+bc-ad)/c(cz+d) =(az+bc)/(cz+d) ∎
Dengan demikian, fungsi bilinear merupakan gabungan dari fungsi linear diikuti dengan fungsi kebalikan dan dilanjutkan dengan fungsi linear lagi.
Contoh :
f(z)=(z+1)/(z-1)
f(z)=2(1/(5z+20))+4
Bukan contoh:
f(z)=0
f(z)=z
f(z)=1/z
Jika f(z) adalah fungsi bilinear maka invers fungsi f(z), z=(-dw+b)/(cw-a) juga bilinear.
Bukti:
f(z)=(az+b)/(cz+d)
f(z)= w=(az+b)/(cz+d)
w(cz+d)=az+b
wcz+wd=az+b
wcz-az =-wd+b
z(cw-a)=-wd+b
z=(-wd+b)/(cw-a) ,(ad-bc≠0 dan c≠0)∎
Jadi, invers fungsinya merupakan fungsi bilinear.
Jika S dan T masing-masing fungsi bilinear maka fungsi komposisinya juga fungsi bilinear.
Bukti:
Misalkan S(z)=(az+b)/(cz+d) dan T(z)=(ez+f)/(gz+h)
SoT=S(T(z) )=S((ez+f)/(gz+h))= (a((ez+f)/(gz+h))+b)/(c((ez+f)/(gz+h))+d)
=(((aez+af)/(gz+h))+b)/(((cez+cf)/(gz+h))+d)
= (aez+af+b(gz+h))/(cez+cf+d(gz+h))
=(aez+af+bgz+bh)/(cez+cf+dgz+dh)
= ((ae+bg)z+(af+bh))/((ce+dg)z+(cf+dh))
dengan (ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg)≠0.
Jadi, SoT merupakan fungsi bilinear.
ToS=T(S(z) )=T((az+b)/(cz+d))=(e((az+b)/(cz+d))+f)/(g((az+b)/(cz+d))+h)
= (((aez+eb)/(cz+d))+f)/(((gaz+gb)/(cz+d))+h)
= (aez+eb+f(cz+d))/(gaz+gb+h(cz+d))
= (aez+eb+fcz+fd)/(gaz+gb+hcz+hd)
= ((ae+fc)z+(eb+fd))/((ga+hc)z+(gb+hd))
dengan (ae+fc)(gb+hd)-(eb+fd)(ga+hc)≠0.
Jadi, ToS merupakan fungsi bilinear.
Sehingga fungsi komposisi merupakan fungsi bilinear.
Contoh: w=(z+i)/(z-i),z=∞
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikannya digunakan tingkah laku khusus f(z) pada z=∞ yang disamakan dengan tingkah laku f(1/z) pada titik z=0 yang terdapat pada fungsi balikan, yaitu
f(z)=w=(z+i)/(z-i),z=∞
f(1/z)=(1/z+i)/(1/z-i)=((1+zi)/z)/((1-zi)/z)=(1+zi)/(1-zi)
untuk z=0, menghasilkan w=1. Jadi, pada z=∞, fungsinya bernilai 1.
Daftar Pustaka
Irawati, Santi, 2001. Analisis Kompleks. Malang: UM Press.
Irawati, Santi, 2001. Fungsi Kompleks Lanjut. Malang: Universitas Negeri Malang.
Paliouras, John D., 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur. Jakarta : Erlangga.
